初步认识 FM/PM 调制

先以最简单的方式来认识 FM/PM 调制。

因为频率或相位的变化都是载波余弦角度的变化，所以调频和调相统称为角度调制。

频率和相位之间存在密切的关系，调频必调相，调相必调频。

因为调频和调相信号的频谱不再是线性搬移，而是频谱的非线性变换，产生新的频率成分， 因此调频和调相属于非线性调制。

认识角度调制

任何一个正余弦型时间函数，如果它的幅度不变，则可用下式表示：

如果加上了初相，就是：

## 相位调制

调相指的是：瞬时相位偏移与调制信号成正比。

其公式为：

从前面的瞬时频率公式可以看出，相位的变换也会导致频率的变化，那么：

频率调制

调频指的是：载波的瞬时频率偏移与调制信号成比例：

## 频率与相位的比较

# 几种典型的角度调制

单音调相

理论

对于基带信号，其表示为：

\[ m(t) = A_{m}cosω_{m}t \] 而对于调相，其表示为：

\[ S_{PM}(t) = A_{0}cos[ω_{c}t+k_{p}m(t)] = A_{0}cos[ω_{c}t+k_{p}A_{m}cosω_{m}t] \] 上式中的 \(k_{p}A_{m}cosω_{m}t\) 就是瞬时频偏，其中的 \(m_{p}=k_{p}A_{m}\) 就叫做调相指数，表示最大的相偏。

那么对其做微分，以求得瞬时频偏：

\[ \frac{d[ω_{c}t+m_{p}cosω_{m}t]}{dt} = ω_{c}-m_{p}ω_{m}sinω_{m}t \] - 其瞬时频偏就是 \(-m_{p}ω_{m}sinω_{m}t\) - 其最大频偏就是 \(\Delta_{max} = m_{p}ω_{m}\)

从上面的公式也可以看出，\(m_{p}\) 也表示最大相对频偏：

\[ m_{p} = \frac{\Delta_{max}}{\omega_{m}} = \frac{\Delta f_{max}}{f_{m}} \]

比如基带信号的频率为 10Hz，其幅度为 3，那么可以被表示为：

\[ S_{m}t=A_{0}cos[ω_{c}t+3cosω_{m}t] \] 根据上面的推导，其最大相偏就是 \(m_{p}=3\) 弧度。

而最大频偏就是：

\[ \frac{d[ω_{c}t+3cosω_{m}t]}{dt} = ω_{c}-3ω_{m}sinω_{m}t \] 又由于当前基带频率是 10Hz，那么最大频偏就是 30Hz。

验证

下面通过 matlab 来进行验证。

clear;
close all;
clc;

base_freq = 10;
base_amp = 3;

carry_freq = 100;
carry_amp = 1;
fs = 1024;

n = [1:fs];

pm_signal = carry_amp * cos(2 * pi * carry_freq * n / fs + ...
    base_amp * cos(2 * pi * base_freq * n / fs));

figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(pm_signal);
subplot(2, 1, 2);
plot(20* log10(abs(fft(pm_signal)) ./ fs));

其效果如下：

## 单音调频

理论

单音调频的表示为：

\[ \begin{aligned} S_{FM}(t) &= A_{0} cos[\omega_{c}t + k_{f}\int_{-\infty}^\tau m(\tau)d\tau]\\ &= A_{0} cos[\omega_{c}t + k_{f}\int_{-\infty}^\tau A_{m}cos\omega_{m}\tau d\tau]\\ &= A_{0} cos[\omega_{c}t + \frac{k_{f}A_{m}sin\omega_{m}t}{\omega_{m}}]\\ &= A_{0} cos[\omega_{c}t + m_{f}sin\omega_{m}t]\\ \end{aligned} \]

上式子中 \(m_{f} = \frac{k_{f}A_{m}}{\omega_{m}}\) 叫做调频指数，以表示最大相偏。

上面式子经过化简后，就和调相的公式一致了（sin 和 cos 只是有个相位偏移的差异罢了） 这也就是为什么将调频和调相放在一起看。

为了求最大频偏，就需要对公式求微分，得到瞬时频率：

\[ \frac{d[\omega_{c}t + m_{f}sin\omega_{m}t]}{dt} = \omega_{c} + m_{f}\omega_{m}cos\omega_{m}t \] 那么就可以得出其最大频偏（rad/s）是 \(m_{f}\omega_{m}=k_{f}A_{m}\)，将该值除以 2Π，得到的就是最大频偏（Hz /s）。

\(m_{f}\) 也表示最大相对频偏：

\[ m = \Phi_{max} (最大相偏) = \frac{\Delta\omega_{max}}{\omega_{m}} = \frac{\Delta f_{max}}{f_{m}} (最大相对频偏) \]

比如基带信号为1kHz，其幅值为 \(4*10^3\pi\)，kf 为 2，那么其最大频偏就是：

\[ m_{f} \omega_{m} = k_{f} * A_{m} = 8 * 10^3\pi \]

该值再除以 \(2\pi\) 就是就是 4kHz 的频偏。

验证

matlab 脚本如下：

clear all;
clc;
close all;

kf = 2;
Am = 4e3*pi;
base_freq = 1e3;
carry_freq = 10e3;
fs = 10e4;

n = [1:fs];

fm_signal = cos(2*pi*carry_freq*n/fs + ...
    kf * Am * sin(2 * pi * base_freq * n / fs) / (2 * pi * base_freq));

figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(fm_signal);
subplot(2, 1, 2);
plot(20 * log10(abs(fft(fm_signal))./fs));

运行效果如下：

## 窄带调角

当最大相位偏移小于 \(\frac{\pi}{6}\) （或 0.5）时，就称其为窄带角度调制，反之为宽带调角。