先以最简单的方式来认识 FM/PM 调制。
因为频率或相位的变化都是载波余弦角度的变化,所以调频和调相统称为角度调制。
频率和相位之间存在密切的关系,调频必调相,调相必调频。
因为调频和调相信号的频谱不再是线性搬移,而是频谱的非线性变换,产生新的频率成分,
因此调频和调相属于非线性调制。
认识角度调制
任何一个正余弦型时间函数,如果它的幅度不变,则可用下式表示:
如果加上了初相,就是:
相位调制
调相指的是:瞬时相位偏移与调制信号成正比。
其公式为:
从前面的瞬时频率公式可以看出,相位的变换也会导致频率的变化,那么:
频率调制
调频指的是:载波的瞬时频率偏移与调制信号成比例:
## 频率与相位的比较
几种典型的角度调制
单音调相
理论
对于基带信号,其表示为:
$$
m(t) = A_{m}cosω_{m}t
$$
而对于调相,其表示为:
$$
S_{PM}(t) = A_{0}cos[ω_{c}t+k_{p}m(t)]
= A_{0}cos[ω_{c}t+k_{p}A_{m}cosω_{m}t]
$$
上式中的 $k_{p}A_{m}cosω_{m}t$ 就是瞬时频偏,其中的 $m_{p}=k_{p}A_{m}$ 就叫做调相指数,表示最大的相偏。
那么对其做微分,以求得瞬时频偏:
$$
\frac{d[ω_{c}t+m_{p}cosω_{m}t]}{dt} = ω_{c}-m_{p}ω_{m}sinω_{m}t
$$
- 其瞬时频偏就是 $-m_{p}ω_{m}sinω_{m}t$
- 其最大频偏就是 $\Delta_{max} = m_{p}ω_{m}$
从上面的公式也可以看出,$m_{p}$ 也表示最大相对频偏:
$$
m_{p} = \frac{\Delta_{max}}{\omega_{m}} = \frac{\Delta f_{max}}{f_{m}}
$$
比如基带信号的频率为 10Hz
,其幅度为 3
,那么可以被表示为:
$$
S_{m}t=A_{0}cos[ω_{c}t+3cosω_{m}t]
$$
根据上面的推导,其最大相偏就是 $m_{p}=3$ 弧度。
而最大频偏就是:
$$
\frac{d[ω_{c}t+3cosω_{m}t]}{dt} = ω_{c}-3ω_{m}sinω_{m}t
$$
又由于当前基带频率是 10Hz
,那么最大频偏就是 30Hz
。
验证
下面通过 matlab 来进行验证。
1 | clear; |
其效果如下:
单音调频
理论
单音调频的表示为:
$$
\begin{aligned}
S_{FM}(t) &= A_{0} cos[\omega_{c}t + k_{f}\int_{-\infty}^\tau m(\tau)d\tau]\
&= A_{0} cos[\omega_{c}t + k_{f}\int_{-\infty}^\tau A_{m}cos\omega_{m}\tau d\tau]\
&= A_{0} cos[\omega_{c}t + \frac{k_{f}A_{m}sin\omega_{m}t}{\omega_{m}}]\
&= A_{0} cos[\omega_{c}t + m_{f}sin\omega_{m}t]\
\end{aligned}
$$
上式子中 $m_{f} = \frac{k_{f}A_{m}}{\omega_{m}}$ 叫做调频指数,以表示最大相偏。
上面式子经过化简后,就和调相的公式一致了(sin 和 cos 只是有个相位偏移的差异罢了)
这也就是为什么将调频和调相放在一起看。
为了求最大频偏,就需要对公式求微分,得到瞬时频率:
$$
\frac{d[\omega_{c}t + m_{f}sin\omega_{m}t]}{dt} = \omega_{c} +
m_{f}\omega_{m}cos\omega_{m}t
$$
那么就可以得出其最大频偏(rad/s)是 $m_{f}\omega_{m}=k_{f}A_{m}$,将该值除以 2Π,得到的就是最大频偏(Hz /s)。
$m_{f}$ 也表示最大相对频偏:
$$
m = \Phi_{max} (最大相偏) = \frac{\Delta\omega_{max}}{\omega_{m}} = \frac{\Delta f_{max}}{f_{m}} (最大相对频偏)
$$
比如基带信号为1kHz
,其幅值为 $4*10^3\pi$,kf
为 2,那么其最大频偏就是:
$$
m_{f} \omega_{m} = k_{f} * A_{m} = 8 * 10^3\pi
$$
该值再除以 $2\pi$ 就是就是 4kHz 的频偏。
验证
matlab 脚本如下:
1 | clear all; |
运行效果如下:
窄带调角
当最大相位偏移小于 $\frac{\pi}{6}$ (或 0.5)时,就称其为窄带角度调制,反之为宽带调角。